Ukázka úloh - F. Močník

• Aritmetika i algebra pro vyšší třídy škol středních, Praha 1875
• Základové měřictví a rejsování pro nižší třídy škol středních, jakož i pro školy měšťanské, Praha 1875
• Měřictví, Praha 1876

V roce 1875 vyšlo v Praze v překladu F. A. Hory 14. vydání učebnice Aritmetika i algebra pro vyšší třídy škol středních, jedné z mnoha učebnic Franze Močníka. Kniha má celkem 367 stran. Hlavní část knihy (262 stran) tvoří tyto kapitoly:

1.

Sečítání a odečítání

2.

Násobení a dělení

3.

Mocniny, veličiny kořenové, logaritmy

4.

Rovnice

5.

Posloupnosti

6.

Nauka o kombinacích

V dodatku jsou pak uvedeny úlohy "ku cvičení."

Státní vědecká knihovna v Olomouci vlastní učebnici, která patřila původně Učitelské knihovně Státního reálného gymnasia v Olomouci, Třída Jiřího z Poděbrad a Učitelské knihovně České reálky v Olomouci. Učitelé, kteří podle této učebnice vyučovali, si zapisovali do knihy mnoho poznámek a výpočtů. Z tohoto se lze dozvědět, že kniha byla používána v V. až VIII. ročníku a že byly pro jednotlivé ročníky vybírány některé kapitoly.

V Časopise pro pěstování matematiky a fyziky vyšla v roce 1876 nepodepsaná recenze na tuto učebnici. Z ní se například můžeme dozvědět, že "p. spisovatel v posledních vydáních připojil mnohé odstavce, které činí knihu sice objemnější, nikoliv však důkladnější. Co na př. uvádí o konvergenci a divergenci řad, jest nanejvýš chatrné a nepatří ani do škol středních... Vady, které jsme vytkli, jsou obsaženy v takových oddílech, které sotva na které škole střední vůbec se vykládají, čímž se stávají neškodnými, neujímajíce ceny knize celé, která bez těchto oddílů bude ještě pro školy naše přiměřenější. Co se překladu českého zvláště tkne, musí se s uznamenáním poznamenati, že jest v celku vydání toto slušné, úhledné a velmi levné, ..., trochu lepší papír bychom si byli přáli, kdyby tím cena výtisku nebyla trpěla. Že by se bylo mnoho jasnosti prospělo, kdyby se algebraické veličiny byly vytiskly kursivou, netřeba dokazovati."

Následující ukázka je ze třetí kapitoly "Mocniny, veličiny kořenové, logaritmy způsob určování druhé mocniny a druhé odmocniny". Text je převeden do současné češtiny.

"Máme-li určit druhou mocninu čísla 3417, pak 

3417² = (3000 + 400 + 10 + 7)² = 3000² + 2 * 3000 * 400 + 400² + 2 * 3400 * 10 + 10² + 2 * 3410 * 7 + 7²

anebo provedeme-li naznačené výkony a zapíšeme sčítance pod sebe.

aneb vynecháme-li nuly

Dodatky: Připíšeme k dvojnásobku předchozího čísla novou číslici a násobíme takto vzniklé číslo touto novou číslicí. Každý následující součin píšeme o dvě místa vpravo.

Zkáceně tedy můžeme umocňovat takto:

Úloha: Z mnohočlenu určit druhou odmocninu

1. První člen mnohočlenu je čtvercem prvního členu odmocniny. Odmocníme-li první člen odmocňovaného výrazu, dostaneme první člen výsledku a druhou mocninu tohoto členu odečteme od výrazu pod odmocninou.
2. První dva členy rozdílu obsahují části, vzniklé z následujícího členu kořene, a sice první člen je součin dvojnásobku již známého členu výsledku a následujícího členu kořene. Dělíme-li tedy první člen rozdílu dvojnásobným již určeným členem, obdržíme následující člen výsledného výrazu. Utvoříme nyní obě části: k dvojnásobku první části kořene přičteme nově obdržený člen a součet vynásobíme tímto členem. Součin odečteme od zbytku mnohočlenu.

Takto pokračujeme dále.

Příklad:

Úloha: Z celého čísla, které je druhou mocninou nějakého čísla, určit druhou odmocninu.
1. Rozdělíme číslo od pravé k levé na třídy o dvou číslicích, nejvyšší třída může obsahovat o jednu číslici méně; najdeme největší číslo, jehož čtverec je obsažen v nejvyšší třídě, a napíšeme ho jako první číslici výsledku. Čtverec této číslice odečteme od nejvyšší třídy odmocněnce.
2. K rozdílu připíšeme následující třídu odmocněnce. Z tohoto čísla odškrtneme jeho pravou číslici a tento zbytek dělíme dvojnásobkem již vyhledané číslice výsledku. Podíl napíšeme jako novou číslici do výsledku a zároveň jako doplněk k děliteli. Takto doplněného dělitele násobíme novou číslicí výsledku a součin ihned při násobení odečteme od dělence, k němuž přibereme číslici, kterou jsme dříve oddělili.
3. Takto pokračujeme, dokud nepoužijeme poslední třídu odmocněnce."

 

Další učebnicí Franze Močníka je Základové měřictví a rejsování pro nižší třídy škol středních, jakož i pro školy měšťanské, která vyšla v překladu Václava Starého v roce 1875 v Praze. Učebnice obsahuje celkem 232 obrázků, jak je zdůrazněno na titulní straně, na 198 stranách. Jak uvádí Václav Starý v předmluvě, "pojednává se o měřických tvarech v rovině a prostoru a podává se zároveň návod ku kreslení od ruky a počátkové perspektivy; ve dvou částech posledních odůvodňují se základní věty planimetrie a stereometrie názorem a jednoduchými důkazy, a přihlíží se i k měřickému sestrojování". V knize je užíváno českých názvů, které jsou nejrozšířenější ve školním vyučování. Německé názvosloví, "jakožto velmi důležité", je uvedeno v závorce vždy v prvním pádu.

Na ukázku z této učebnice byl zvolen §41. "Kterak lze rýsovati od ruky libovolný úhel".

1. Jak se rýsují od ruky úhly od 1° až do 16°.

V bodu A vztyčme kolmici, naneseme na jedno rameno 7 rovných dílů od A až do VII., rozdělme jeden takový díl opět na 8 rovných, a naneseme ji na druhé rameno tolik, kolik stupňů má rýsovaný úhel. Kolikátý dělící bod na kolmici spojíme s vrcholem VII., tolik stupňů má vzniklý úhel; např. A VIII 1 = 1°, A VIII 2 = 2°.
atd.

2. Úhly větší než 16° se rozloží na úhly, které lze nakreslit od ruky podle předcházejícího; např.:

23° = 16°+ 7°		82°= 80°+ 2°
100° = 90°+ 10°		40° = 45° - 5° = 4 * 10°
63° = 60° + 3°		48° = 45° + 3° = 3 * 16°

"Jest zde prospěšno, když žáci velikosti úhlů od oka posuzují, a daný úhel od ruky kreslí, o jehož pravosti se úhloměrem přesvědčiti mohou."

I k této učebnici vyšla recenze v Časopise pro pěstování matematiky a fysiky v roce 1876. Neznámý autor recenze uvádí: "Že snad vyhovuje potřebám škol měšťanských v plné míře, nechceme upírati; že by se však stejně dobře hodila pro nižší třídy škol středních jako jiné knihy téhož spisovatele výhradně pro ně určené, pochybujeme."

Pro vyšší třídy středních škol je určena učebnice Měřictví, Praha 1876, se 282 obrázky na 285 stranách. Překladatelem této publikace je opět F. A. Hora, který používá jiné názvy než Starý v předcházející knize. Hora používá počeštěných výrazů. Tato kniha má podobnou strukturu, ale je určena pro starší studenty, čemuž odpovídá i její pojetí. Jde o výklad rozšířený o nové pojmy a využívá ve větší míře vztahů vyjádřených obecně.
Učebnice je rozdělena do těchto kapitol:

1.

Plochoměřictví

2.

Tělesoměřictví

3.

Trigonometrie

4.

Užívání algebry v měřictví

Ve třetí kapitole se Močník mimo jiné věnuje sférické trigonometrii, která se dnes již na středních školách nevyučuje. Jsou zde řešeny úlohy z matematického zeměpisu a ze sférické astronomie (např. "Určete vzdálenost dvou míst na zeměkouli, jestliže znáte jejich zeměpisné délky a šířky"). V poslední kapitole se věnuje algebraickému řešení geometrických úloh a analytické geometrii.