Ukázka úloh - F. K. Bartl

Ve spisu Erläuterung der nöthigsten Gegenstände aus der Buchstabenrechenkunst und Algebra, Olomouc, 1802 Franz Konrad Bartl vysvětluje základní pojmy týkající se počítání s proměnnými. Sám Bartl v úvodu píše: "Jde o věci, které jsou v každé učebnici, ale já je chci svým posluchačům objasnit a přiblížit".

V první kapitole objasňuje pojem proměnná, pojmy rovnost, součet, rozdíl, součin, podíl dvou proměnných a uvádí další pravidla pro počítání s proměnnými (např.: a = b => a + 4 > b).

Druhá kapitola nese název "O čtyřech početních úkonech s celými čísly". Jednotlivé aritmetické operace provádí "pod sebou".

+ 3a -  7b + 4c + 9d  - 3f
+ 5a -  3b  - 7c  - 4d + 2g     
+ 8a -10b  - 3c + 5d + 2g - 3f

Bartl nabízí poučku: "Mám 5 a mám 3, tedy mám 8. Mám dluh 3 a mám dluh 7, tedy mám dluh 10. Mám 4 a dluh 7, tedy mám dluh 3."

Ve třetí kapitole ("O čtyřech početních úkonech v zlomcích, převádění zlomků na společného jmenovatele, sčítání, odčítání zlomků s proměnnými") pracuje s lomenými výrazy.

spis F. K. Bartla, uloženo v SVK Olomouc sign. 36.148


Tématem následující kapitoly jsou mocniny a odmocniny celých čísel, proměnných a algebraických výrazů. Odmocnítko je zapisováno bez horní čáry či závorky.

Zajímavý postup nabízí pro počítání druhé a třetí odmocniny:

Příklad 1: Určete druhou odmocninu z čísla 116964.
"Číslo pod odmocninou se skládá ze 3 tříd (počítáme druhou odmocninu, rozdělíme cifry v čísle pod odmocninou na dvojice), tedy dostaneme trojcifernou odmocninu."



Příklad 2: Určete třetí odmocninu z čísla 14886936
"Číslo pod odmocninou se skládá ze 3 tříd (počítáme třetí odmocninu, rozdělíme cifry v čísle pod odmocninou na trojice), tedy dostaneme trojcifernou odmocninu."

V páté kapitole Bartl se věnuje počítání s odmocninami.
V šesté kapitole se dostává k řešení lineárních, kvadratických a kubických rovnic a soustav rovnic o dvou neznámých (metodou sčítací a dosazovací).
Uvádí praktické slovní úlohy:

Příklad 1. "Petr odkázal polovinu svého majetku svému bratrovi, třetinu ústavu pro chudé a zbývajících 6000 zl. národnímu divadlu. Je otázkou, jak velké jmění měl Petr. Odpověď: 36000 zl."
Příklad 2. "První posel byl poslán na velmi vzdálené místo, a ušel denně 4 míle, po 5 dnech byl vyslán druhý posel, který ušel 6 mil denně. Kdy došel druhý posel prvního? Odpověď: za 10 dní."
Příklad 3. "Má být z vína, kterého vědro stojí 18 zl., a z vína, kterého vědro stojí 10 zl., uděláno víno, kterého vědro bude stát 16 zl. Otázkou je, kolik je potřeba vzít z každého. Odpověď: z prvního 3/4 vedra a z druhého 1/4 vedra."

Sedmá kapitola se jmenuje "O poměrech, úměrách a řadách". Bartl rozlišuje dva druhy poměrů: geometrický a aritmetický.
"Geometrický poměr je odpověď na otázku, kolikrát je jedna proměnná obsažena v druhé proměnné. Označení: a : b.
Aritmetický poměr je odpověď na otázku, o kolik je jedna proměnná větší či menší než druhá. Označení: a b.
Například:

1. Kolikrát je 8 zl. větší než 2 zl.? Odpověď je 4krát. Jde o geometrický poměr, 8 se nazývá "předčlen" ( Vorderglied), 2 "začlen" (Hinterglied) a 4 "člen" (Name), zápis: 8 : 2.
2. O kolik je 2 menší než 8? Odpověď je 6. Jde o aritmetický poměr, 2 se nazývá "předčlen" (Vorderglied), 8 je "začlen" (Hinterglied) a 6 je rozdíl (Differenz), zápis: a obrázek b."

Dále je zajímavé značení geometrické a aritmetické úměry a geometrické a aritmetické posloupnosti:
geometrická úměra (a : b = b : c):  a, b, c
aritmetická úměra (i k = k l = l m):  i, k l, m 
geometrická posloupnost:  a, b, c ,d
aritmetická posloupnost:  a, b, c ,d

V poslední kapitole se věnuje Bartl logaritmům. Logaritmus čísla c definuje jako exponent té mocniny čísla 10, která je rovna c. Např. logaritmus z 1 = 0, protože 100=1 atd. Logaritmus značí Bartl takto: l 1 = 0. Dále uvádí obvyklá pravidla: l ab = l a + l b, l an = n * l a, l = l a - l b.

Další Bartlovou učebnicí je Abhandlung von der Interresenrechnung, Olomouc, 1796, ve které probírá složitější problémy úrokování. V každé kapitole je uvedena vzorová úloha řešená obecně a pak následují obměněné příklady daného typu. Ty jsou vždy řešeny dosazením do vzorce odvozeného ve vzorové úloze.

V první kapitole se student seznámí s pojmy úrokování, kapitál, úrok, procenta.

Ve druhé kapitole "O jednoduchém úrokování" se vychází z příkladu:
Kolik jsou úroky z kapitálu 3600 zl. při pěti procentním ročním úroku za 3 roky a 4 měsíce? Odpověď: 600 zl.
Další úlohy v této kapitole jsou jen obměnami prvního příkladu.

Třetí kapitola se nazývá "O dvojitém úrokování".

A. "Je úkolem z daného kapitálu c, který je uložen na procenta p, určit kapitál k, který vznikne během času n, kdy je kapitál zúročován.

1.
Je-li n < 1, pak
Příklad 1.: Kolik vynese 6000 zl. uložených na 10% roční úrok za 4 měsíce? Odpověď: 6200 zl.
 
2.
Je-li n celé číslo, pak
Příklad 2.: Je uloženo 6000 zl. na 10% roční úrok tak, že je úrok připisován. Je otázkou, jaký bude kapitál za 2 roky? Odpověď: 7260 zl.
 
3.
Je-li n = m + t, kde m je celé číslo, pak
Příklad 3.: Je uloženo 6000 zl. na 10% úrok tak, že se úrok připisuje každý rok. Kolik bude kapitál za dva roky a 4 měsíce? Odpověd: 7502 zl."
U následujících úloh je vždy uvedena podobná diskuse jako v předcházející úloze.

B. "Je úkolem z daných procent p, kapitálu k, který vznikne za dobu n, jestliže se úroky připisují, vypočítat kapitál c, který byl vložen."
C. "Z daného kapitálu c, který byl vložen, a z procent p najít čas n, který je potřebný k dosažení kapitálu k, jestliže se úroky připisují."
D. "Z daného času n, během kterého se kapitál c zvýšil na kapitál k, jestliže byly úroky připisovány, určit procenta p."
E."Z daného kapitálu c a procent p najít kapitál k, který vznikne za dobu n, jestliže z úroků z kapitálu je po každém období vyplacena částka b."
F. "Z daných procent p, kapitálu k, který vznikne za dobu n, jestliže se úroky se připisují ke kapitálu a jestliže se každé účetní období vyplatí částka b, najít kapitál c, který byl uložen."
G. "Z daných procent p, kapitálu c, který byl uložen, a kapitálu k, který vznikne, když se úroky připisují a na konci každého účetního období se vyplatí částka b, najít čas n, který je potřeba ke zhodnocení vkladu."
H. "Z daných procent p, kapitálu k, který vznikne za čas n, jestliže byl vložen vklad c tak, že se úroky připisují a po každém období se určitá částka b vyplácí, najít částku b, která je pravidelně vyplácena."

V závěru se Bartl odvolává na Eulera a první část jeho spisu Anleitung zur Algebra. Upozorňuje na chybu, které se Euler dopustil ve formuli . Euler, na rozdíl od Bartla, používá tuto formuli i v případě, že n není celé číslo. "Podle návodu pana Eulera" vyjde ve třetím příkladě případu A: